7.1. La aproximación Normal a la distribución Binomial
Calcular probabilidades exactas con la fórmula de la Binomial vista en el tema 5 se vuelve poco práctico cuando n es grande. Los factoriales y combinatorias implicados crecen rápidamente.
Bajo ciertas condiciones, la distribución Binomial puede aproximarse razonablemente bien mediante una distribución Normal, lo que simplifica enormemente los cálculos.
Aproximación Normal a la Binomial: cuando n es suficientemente grande y p no está demasiado próxima a 0 ni a 1, la distribución Binomial(n,p) se puede aproximar por una distribución Normal con μ = n·p y σ = √(n·p·(1−p)).
La condición práctica habitual para que la aproximación sea razonable es que tanto n·p como n·(1−p) sean mayores que 5 (algunos textos exigen mayores que 10 para mayor precisión). Cuando esta condición no se cumple, especialmente si p es muy pequeña (sucesos raros), es preferible usar la aproximación de Poisson vista en el tema 5, o calcular la Binomial exacta.
Para calcular la probabilidad de que más de 60 de 100 pacientes respondan a un tratamiento con probabilidad individual de respuesta del 50%, el cálculo binomial exacto es laborioso. Con n·p=50 y n·(1−p)=50, ambos mayores que 5, se puede aproximar por una Normal con μ=50 y σ=√25=5, y calcular la probabilidad tipificando como se vio en el tema 6.
7.2. Por qué sensibilidad y especificidad dependen del punto de corte
En el tema 4 se definieron sensibilidad y especificidad como propiedades fijas de una prueba diagnóstica. Eso es cierto cuando la prueba da un resultado binario directo, pero muchas pruebas médicas dan un resultado en escala continua (una concentración, una puntuación, un valor analítico), y es necesario elegir un punto de corte para decidir qué valores se consideran «positivos».
Imaginemos que un marcador biológico tiene una distribución de valores distinta en pacientes enfermos y en pacientes sanos. Los enfermos tienden a tener valores más altos, pero ambas distribuciones se solapan parcialmente. Cualquier punto de corte que se elija dentro de la zona de solapamiento clasificará mal a una parte de los pacientes.
Si se mueve el punto de corte hacia la izquierda (valores más bajos se consideran positivos), se detectan más enfermos verdaderos (sube la sensibilidad) pero también se clasifican como positivos más sanos (baja la especificidad). Si se mueve hacia la derecha ocurre lo contrario.
No existe un punto de corte que maximice sensibilidad y especificidad simultáneamente, salvo en el caso ideal en que las distribuciones de enfermos y sanos no se solapen en absoluto. En la práctica clínica real, casi siempre hay solapamiento, así que elegir el punto de corte es siempre un compromiso, no una optimización sin coste.
7.3. La curva ROC
7.3.1. Construcción de la curva ROC
La curva ROC (Receiver Operating Characteristic) representa, para cada posible punto de corte, el par de valores (1−especificidad, sensibilidad) obtenido. Recorriendo todos los puntos de corte posibles desde el más bajo hasta el más alto, se traza una curva completa.
| Eje | Magnitud | Interpretación |
|---|---|---|
| Eje Y | Sensibilidad | Proporción de enfermos correctamente detectados |
| Eje X | 1 − Especificidad | Proporción de sanos incorrectamente clasificados como positivos (falsos positivos) |
El eje X de la curva ROC es 1−especificidad, no la especificidad directamente. Confundir esto invierte la lectura de la curva. Una prueba mejor produce una curva que se aproxima a la esquina superior izquierda (sensibilidad alta, 1−especificidad baja), no a la esquina superior derecha.
7.3.2. El área bajo la curva (AUC)
Como se adelantó en el tema 4, el área bajo la curva ROC (abreviada AUC, Area Under the Curve), resume en un único número la capacidad discriminativa global de la prueba diagnóstica, independientemente del punto de corte elegido.
AUC (área bajo la curva ROC): medida que resume la capacidad de una prueba diagnóstica para distinguir entre enfermos y sanos a lo largo de todos los puntos de corte posibles. Equivale a la probabilidad de que, tomando un enfermo y un sano al azar, la prueba asigne un valor más alto al enfermo.
| Valor de AUC | Interpretación |
|---|---|
| 0,5 | Sin capacidad discriminativa (equivalente a clasificar al azar) |
| 0,7 − 0,8 | Discriminación aceptable |
| 0,8 − 0,9 | Discriminación buena |
| > 0,9 | Discriminación excelente |
| 1,0 | Discriminación perfecta (sin solapamiento entre distribuciones) |
El AUC no es "el porcentaje de diagnósticos correctos" de la prueba. Es la probabilidad de que la prueba ordene correctamente un par aleatorio enfermo-sano. Esta distinción se pregunta con frecuencia porque la interpretación intuitiva incorrecta es muy común.
7.3.3. Elección del punto de corte óptimo
No existe un punto de corte universalmente «correcto». La elección del punto de corte depende del contexto clínico, en concreto de las consecuencias relativas de los falsos positivos frente a los falsos negativos.
Cuando un falso negativo es especialmente grave (no detectar una enfermedad grave y tratable), se prioriza la sensibilidad, aceptando más falsos positivos a cambio. Cuando un falso positivo tiene consecuencias importantes (un tratamiento agresivo innecesario, ansiedad y pruebas adicionales invasivas), se prioriza la especificidad (aceptando más falsos negativos a cambio).
Un criterio matemático habitual para identificar el punto de corte que mejor equilibra sensibilidad y especificidad es el índice de Youden (J), definido como J = sensibilidad + especificidad − 1.
Su valor oscila entre 0 (prueba sin capacidad discriminativa) y 1 (prueba perfecta), y el punto de corte óptimo según este criterio es aquel que maximiza J, es decir, el que maximiza la suma de sensibilidad y especificidad simultáneamente.
Geométricamente, corresponde al punto de la curva ROC más alejado de la diagonal de referencia. El índice de Youden es útil cuando no hay razones clínicas para priorizar sensibilidad sobre especificidad ni viceversa; cuando sí las hay, el punto de corte óptimo se desplaza deliberadamente en la dirección que penaliza menos el error más costoso.
Índice de Youden (J): criterio matemático para identificar el punto de corte óptimo de una prueba diagnóstica cuando no hay razones clínicas para priorizar sensibilidad sobre especificidad.
Se define como J = sensibilidad + especificidad − 1, y oscila entre 0 (prueba sin valor diagnóstico) y 1 (prueba perfecta).
El punto de corte óptimo según Youden es aquel que maximiza J, equivalente geométricamente al punto de la curva ROC más alejado de la diagonal de referencia.
En el cribado de una enfermedad grave y tratable en fase precoz (por ejemplo, ciertos cánceres), se suele elegir un punto de corte que prioriza la sensibilidad, asumiendo que los falsos positivos se resolverán con pruebas confirmatorias posteriores. En cambio, en una prueba que conduce directamente a una intervención quirúrgica de alto riesgo, se prioriza la especificidad para minimizar intervenciones innecesarias.
La construcción y comparación de curvas ROC entre distintas pruebas diagnósticas, así como el cálculo formal del intervalo de confianza del AUC, son herramientas habituales en estudios de validación de pruebas diagnósticas y se aplican junto con los conceptos de estimación por intervalos desarrollados en los temas del Bloque 4 — Muestreo, estimación y contraste de hipótesis.
