3.1. Introducción a la probabilidad
La incertidumbre es inherente a la práctica clínica. No se sabe con certeza si un paciente desarrollará una complicación, si un tratamiento funcionará en un caso concreto o si un resultado de laboratorio refleja la realidad biológica o un error de medida. La probabilidad es la herramienta matemática que permite cuantificar esa incertidumbre de forma rigurosa, en lugar de manejarla con intuición.
La probabilidad aparece en medicina en contextos muy distintos:
- El riesgo de un evento cardiovascular a 10 años.
- La fiabilidad de una prueba diagnóstica.
- La posibilidad de que un fármaco produzca un efecto adverso.
La probabilidad constituye la base matemática de cualquier test estadístico que se vea más adelante en la asignatura. Sin estos conceptos no es posible entender la inferencia estadística.
La probabilidad mide la frecuencia esperada de un suceso si el experimento se repitiera muchas veces, o el grado de certeza razonable que se le puede asignar dada la información disponible. Por eso un suceso con probabilidad 0,01 puede ocurrir; simplemente, es poco frecuente.
3.2. Experimento aleatorio y espacio muestral
Un experimento aleatorio es cualquier proceso cuyo resultado no se puede predecir con certeza antes de realizarlo, aunque se conozcan todos los resultados posibles. Lanzar una moneda, medir la glucemia de un paciente o determinar si un tratamiento produce una reacción adversa son experimentos aleatorios. En todos los casos no podemos saber el resultado exacto de antemano, aunque sí sabemos qué tipo de resultados son posibles.
Espacio muestral (Ω): conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
El espacio muestral puede ser finito (el resultado de lanzar un dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}), infinito numerable (el número de pacientes que llegan a urgencias en un día) o continuo (la glucemia exacta de un paciente, que puede tomar cualquier valor en un rango). Definir correctamente el espacio muestral es el primer paso, y a menudo el más importante, de cualquier cálculo de probabilidad. Un espacio muestral mal definido invalida todo lo que se calcule después.
Al diseñar un estudio sobre el resultado de una prueba diagnóstica, el espacio muestral debe estar bien delimitado: ¿"positivo/negativo" es realmente binario, o existen resultados "indeterminados" que también forman parte del espacio muestral? Omitir esa categoría sesga los cálculos posteriores de sensibilidad y especificidad.
3.3. Sucesos
Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral (un resultado o conjunto de resultados de interés). Un suceso simple o elemental corresponde a un único resultado del espacio muestral. Un suceso compuesto agrupa varios resultados elementales.
Ejemplo: en el experimento «lanzar un dado», el suceso «sacar un 4» es simple; el suceso «sacar un número par» es compuesto, porque agrupa los resultados {2,4,6}.
Existen dos sucesos especiales:
- El suceso seguro es el propio espacio muestral Ω: siempre ocurre, su probabilidad es 1.
- El suceso imposible (∅) no contiene ningún resultado: nunca ocurre, su probabilidad es 0.
A partir de los sucesos se pueden construir operaciones, igual que con conjuntos:
| Operación | Notación | Significado | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Unión | A ∪ B | Ocurre A, o B, o ambos | Paciente con hipertensión o diabetes (o ambas) |
| Intersección | A ∩ B | Ocurren A y B simultáneamente | Paciente con hipertensión y diabetes a la vez |
| Complementario | A̅ (o Ac) | No ocurre A | Paciente sin hipertensión |
| Diferencia | A − B | Ocurre A pero no B | Hipertenso pero no diabético |
Dos sucesos son incompatibles (o mutuamente excluyentes) cuando no pueden ocurrir a la vez (su intersección es el suceso imposible (A ∩ B = ∅)).
Por ejemplo, «el paciente tiene grupo sanguíneo A» y «el paciente tiene grupo sanguíneo B» son incompatibles: nadie tiene los dos a la vez como tipo principal.
Sucesos incompatibles no es lo mismo que sucesos independientes. La incompatibilidad es una relación entre los sucesos en sí (no pueden coexistir); la independencia es una relación entre sus probabilidades (que ocurra uno no cambia la probabilidad del otro). De hecho, si dos sucesos son incompatibles y ambos tienen probabilidad mayor que cero, nunca pueden ser independientes: que ocurra uno hace que la probabilidad del otro caiga a cero. Este punto se confunde con frecuencia y es fuente típica de error en examen.
3.4. Definiciones de probabilidad
Existen varias formas de asignar una probabilidad a un suceso, según el contexto y la información disponible.
3.4.1. Definición clásica (regla de Laplace)
Cuando todos los resultados del espacio muestral son igualmente probables, la probabilidad de un suceso A se calcula como el cociente entre el número de resultados favorables a A y el número total de resultados posibles:
Esta definición es aplicable a experimentos con resultados equiprobables.
Por ejemplo, lanzar un dado no trucado, extraer una carta de una baraja, seleccionar un individuo al azar de un grupo donde cada uno tiene la misma probabilidad de ser elegido.
3.4.2. Definición frecuentista
Cuando los resultados no son igualmente probables, o cuando no se puede enumerar el espacio muestral de antemano, se recurre a la definición frecuentista: la probabilidad de un suceso es el límite al que tiende su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un número de veces muy grande.
Esta es la definición que sustenta la práctica clínica.
Por ejemplo, la probabilidad de que un fármaco produzca un efecto adverso se estima observando la frecuencia con que ocurre en una muestra amplia de pacientes tratados, no calculándola de forma teórica.
Cuando un prospecto indica que un efecto adverso ocurre "en 1 de cada 1.000 pacientes", esa cifra es una probabilidad estimada por definición frecuentista. Se ha observado en ensayos clínicos con miles de pacientes y se asume que esa frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad real en la población.
3.4.3. Axiomas de la probabilidad
Independientemente de cómo se asigne, toda probabilidad debe cumplir tres propiedades básicas (axiomas de Kolmogórov):
| Axioma | Enunciado |
|---|---|
| No negatividad | P(A) ≥ 0 para cualquier suceso A |
| Normalización | P(Ω) = 1 (el suceso seguro tiene probabilidad 1) |
| Aditividad | Si A y B son incompatibles, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
De estos tres axiomas se derivan todas las reglas de cálculo que se usan en la práctica.
3.5. Reglas de probabilidad
3.5.1. Regla del complementario
La probabilidad de que un suceso A no ocurra es 1 menos la probabilidad de que ocurra:
P(A̅) = 1 − P(A)
Es una herramienta de cálculo muy útil. A veces es mucho más sencillo calcular la probabilidad del complementario que la del suceso original.
Para calcular la probabilidad de que, en un grupo de 5 pacientes, al menos uno tenga una reacción adversa con probabilidad individual del 10%, es mucho más fácil calcular primero la probabilidad de que ninguno la tenga (el complementario) y luego restar de 1, que calcular directamente todas las combinaciones posibles de "al menos uno".
3.5.2. Regla de la suma
Para calcular la probabilidad de que ocurra A o B (la unión), la regla depende de si los sucesos son compatibles o incompatibles.
Si A y B son incompatibles (no pueden ocurrir a la vez):
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Si A y B son compatibles (pueden ocurrir simultáneamente), sumar directamente cuenta dos veces la intersección, así que hay que restarla:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Olvidar restar la intersección cuando los sucesos son compatibles es el error más frecuente al aplicar la regla de la suma. Antes de sumar probabilidades, siempre hay que preguntarse: ¿pueden ocurrir A y B a la vez? Si la respuesta es sí, hay que restar P(A ∩ B).
3.5.3. Sucesos independientes y regla del producto
Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro. Formalmente, A y B son independientes si y solo si:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Esta es la regla del producto para sucesos independientes. La probabilidad de que ocurran ambos es el producto de sus probabilidades individuales. Se aplica, por ejemplo, al calcular la probabilidad de que dos pruebas diagnósticas independientes den ambas un resultado positivo, o la probabilidad de que dos eventos biológicos no relacionados ocurran a la vez.
Sucesos independientes: dos sucesos son independientes cuando la información de que uno ha ocurrido no cambia la probabilidad de que ocurra el otro.
Cuando los sucesos no son independientes, calcular la probabilidad conjunta requiere el concepto de probabilidad condicionada, que se trata en profundidad en el tema siguiente.
La regla del producto para sucesos independientes es un caso particular de la fórmula general de la probabilidad conjunta, que utiliza la probabilidad condicionada:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A).
Cuando A y B son independientes, P(B|A) = P(B) y la fórmula se simplifica a la vista aquí.
Se desarrolla en Tema 4 · Probabilidad condicionada, teorema de Bayes y pruebas diagnósticas.
| Regla | Condición | Fórmula |
|---|---|---|
| Complementario | Siempre aplicable | P(A̅) = 1 − P(A) |
| Suma (sucesos incompatibles) | A ∩ B = ∅ | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) |
| Suma (sucesos compatibles) | A ∩ B ≠ ∅ | P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) |
| Producto (sucesos independientes) | P(A∩B) = P(A)·P(B) | P(A ∩ B) = P(A) × P(B) |
3.6. Aplicación: razonamiento probabilístico en clínica
Estas reglas, aunque parecen abstractas, son la base matemática de decisiones clínicas cotidianas como pueden ser 1) calcular el riesgo combinado de varios factores, 2) estimar la probabilidad de que un paciente con varios síntomas tenga una enfermedad concreta o 3) interpretar el riesgo acumulado de eventos adversos en un tratamiento prolongado.
Pregunta frecuente: "Si la probabilidad de que un paciente tenga hipertensión es 0,3 y la de que tenga diabetes es 0,2, y ambas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ambas?"
Aplicando la regla del producto para independientes: 0,3 × 0,2 = 0,06. El error típico es asumir independencia sin que el enunciado lo garantice explícitamente. En la realidad clínica, hipertensión y diabetes no son independientes, están asociadas.
