4.1. Probabilidad condicionada
Hasta ahora se ha trabajado con probabilidades «sin condiciones», la probabilidad de un suceso sin más información.
Sin embargo, en la práctica clínica, casi siempre se dispone de información parcial que modifica la probabilidad de interés. La probabilidad de que un paciente tenga una enfermedad cambia si se sabe que tiene un síntoma concreto, un antecedente familiar, o un resultado analítico determinado.
Probabilidad condicionada P(A|B): es la probabilidad de que ocurra el suceso A, sabiendo que el suceso B ya ha ocurrido. Se lee "probabilidad de A dado B".
La fórmula que define la probabilidad condicionada es:
Donde P(A∩B) es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos, y P(B) es la probabilidad del suceso condicionante, que debe ser mayor que cero (no se puede condicionar a un suceso imposible).
La intuición es clave aquí: condicionar a B significa que el espacio muestral «se encoge» a B. Ya no se pregunta qué proporción de Ω cumple A, sino qué proporción de B cumple A.
La probabilidad de tener cáncer de pulmón en la población general es baja. La probabilidad de tener cáncer de pulmón sabiendo que la persona es fumadora de 40 cigarrillos/día desde hace 30 años es mucho mayor. El suceso condicionante (ser fumador) reduce el espacio muestral a un subgrupo con riesgo distinto del de la población general.
De la fórmula de probabilidad condicionada se deriva la regla del producto general, válida para cualquier par de sucesos (sean o no independientes):
P(A∩B) = P(A|B) × P(B) = P(B|A) × P(A)
4.2. Independencia de sucesos
En el tema 3 definimos la independencia mediante P(A∩B) = P(A)×P(B). Con la probabilidad condicionada se puede dar una definición equivalente, más intuitiva. Dos sucesos A y B son independientes si saber que B ha ocurrido no cambia la probabilidad de A.
P(A|B) = P(A)
Si esta igualdad se cumple, los sucesos son independientes; si P(A|B) ≠ P(A), B aporta información sobre A y los sucesos son dependientes.
Esta es la forma más intuitiva de pensar en independencia: ¿cambia mi estimación de A al saber que B ha ocurrido? Si la respuesta es no, son independientes. Si la respuesta es sí (sube o baja la probabilidad), son dependientes, y es necesario usar la fórmula completa de probabilidad condicionada para calcular cualquier probabilidad conjunta.
4.3. Teorema de la probabilidad total
En muchas situaciones clínicas, un suceso de interés puede ocurrir a través de varios «caminos» o categorías distintas y mutuamente excluyentes. El teorema de la probabilidad total permite calcular la probabilidad de ese suceso sumando su probabilidad a través de cada uno de esos caminos, ponderada por la probabilidad de cada camino.
Formalmente, si B₁, B₂, …, Bₙ forman una partición del espacio muestral (son incompatibles entre sí y su unión es Ω), entonces la probabilidad de cualquier suceso A se puede calcular como:
Este teorema es el paso intermedio imprescindible para llegar al teorema de Bayes: antes de poder «invertir» una probabilidad condicionada, hace falta calcular la probabilidad total del suceso que se observa.
Para calcular la probabilidad de que una prueba diagnóstica dé positivo en la población general, hay que sumar dos caminos: que dé positivo en alguien enfermo (verdadero positivo) y que dé positivo en alguien sano (falso positivo), cada uno ponderado por la prevalencia de la enfermedad. Es exactamente la aplicación del teorema de la probabilidad total que se usa en el apartado 4.5.
4.4. Teorema de Bayes
El teorema de Bayes es, probablemente, el resultado más importante de este tema y uno de los pilares del razonamiento clínico cuantitativo. Permite calcular P(B|A) a partir de P(A|B), invirtiendo el sentido del condicionamiento.
Teorema de Bayes: permite calcular la probabilidad de una causa o categoría (Bᵢ), dado que se ha observado un efecto o resultado (A), a partir de las probabilidades en sentido contrario (probabilidad de A dado cada Bᵢ) y la probabilidad previa de cada Bᵢ.
Esta fórmula combina todo lo visto hasta ahora: la probabilidad condicionada (numerador) y el teorema de la probabilidad total (denominador). El valor P(Bᵢ) se denomina probabilidad a priori (lo que se sabe antes de observar el resultado A); el valor P(Bᵢ|A) se denomina probabilidad a posteriori (lo que se sabe después de observar A).
El teorema de Bayes es exactamente el razonamiento clínico formalizado.
El médico tiene una sospecha previa (probabilidad a priori, basada en la prevalencia, los antecedentes, la clínica) y la actualiza con el resultado de una prueba para llegar a una probabilidad a posteriori más informada.
Pedir pruebas sin tener en cuenta la probabilidad previa, y interpretarlas como si fueran la única fuente de información, es un error de razonamiento bayesiano frecuente en la práctica clínica.
4.5. Aplicación a pruebas diagnósticas
4.5.1. Sensibilidad y especificidad
Toda prueba diagnóstica se evalúa comparando su resultado (positivo o negativo) con el estado real del paciente (enfermo o sano), determinado por una prueba de referencia (llamado gold standard o patrón oro). De esa comparación surge una tabla 2×2 que es la base de todo el razonamiento diagnóstico:
| Enfermo (real) | Sano (real) | |
|---|---|---|
| Prueba positiva | Verdadero positivo (VP) | Falso positivo (FP) |
| Prueba negativa | Falso negativo (FN) | Verdadero negativo (VN) |
A partir de esta tabla se definen las dos propiedades fundamentales de cualquier prueba diagnóstica.
Sensibilidad: probabilidad de que la prueba dé positivo en un paciente que realmente está enfermo. S = VP / (VP + FN).
Especificidad: probabilidad de que la prueba dé negativo en un paciente que realmente está sano. E = VN / (VN + FP).
Sensibilidad y especificidad son propiedades intrínsecas de la prueba. Se determinan en estudios de validación y, en principio, no cambian según la población en la que se aplique la prueba después. Una prueba muy sensible es útil para descartar enfermedad cuando da negativo (pocos falsos negativos); una prueba muy específica es útil para confirmar enfermedad cuando da positivo (pocos falsos positivos).
4.5.2. Valores predictivos y dependencia de la prevalencia
Sensibilidad y especificidad responden a la pregunta del investigador que valida la prueba. Dado el estado real del paciente, ¿qué dice la prueba?
Pero en la consulta, el médico tiene la pregunta inversa: dado el resultado de la prueba, ¿cuál es el estado real del paciente? Esa pregunta la responden los valores predictivos, que se calculan aplicando el teorema de Bayes.
Valor predictivo positivo (VPP): probabilidad de que un paciente con prueba positiva esté realmente enfermo. VPP = VP / (VP + FP).
Valor predictivo negativo (VPN): probabilidad de que un paciente con prueba negativa esté realmente sano. VPN = VN / (VN + FN).
A diferencia de sensibilidad y especificidad, los valores predictivos dependen directamente de la prevalencia de la enfermedad en la población en la que se aplica la prueba. Esta es la idea más importante de todo el tema, y la más contraintuitiva.
Una prueba con sensibilidad 99% y especificidad 99% aplicada a una enfermedad con prevalencia del 0,1% (1 de cada 1.000 personas) tiene un VPP sorprendentemente bajo. De 1.000 personas, 1 está enferma (con un 99% de probabilidad de detectarla) y 999 están sanas (con un 1% de falsos positivos, es decir, aproximadamente 10 falsos positivos). De los aproximadamente 11 positivos totales, solo 1 está realmente enfermo: VPP ≈ 9%. Una prueba excelente puede tener un VPP bajo si la enfermedad es rara. Por eso el cribado poblacional de enfermedades raras exige pruebas confirmatorias adicionales.
Esto explica por qué la misma prueba (por ejemplo, una serología) se interpreta de forma distinta en un paciente con alta sospecha clínica (alta probabilidad a priori, alta prevalencia "personal") que en un cribado poblacional sin factores de riesgo (baja prevalencia). El resultado positivo es mucho más fiable en el primer caso.
4.6. Curva ROC: introducción
Sensibilidad y especificidad no son valores fijos cuando la prueba diagnóstica da un resultado continuo (una concentración, una puntuación) en lugar de un resultado binario directo. En esos casos, hace falta elegir un punto de corte que separe «positivo» de «negativo», y ese punto de corte determina conjuntamente la sensibilidad y la especificidad de la prueba. Subir el punto de corte aumenta la especificidad pero reduce la sensibilidad, y viceversa.
La curva ROC (Receiver Operating Characteristic) representa gráficamente esa relación. En el eje Y se representa la sensibilidad y en el eje X el complementario de la especificidad (1 − especificidad), para todos los puntos de corte posibles. El área bajo la curva (AUC) resume en un único número la capacidad discriminativa global de la prueba. Cuanto más próxima a 1 sea el valor del AUC, mejor discrimina la prueba entre enfermos y sanos.
La curva ROC requiere entender cómo varía la probabilidad de un resultado según la distribución de valores en enfermos y sanos, lo cual se desarrolla con el aparato completo de la distribución Normal.
El desarrollo detallado de la construcción de la curva ROC, el área bajo la curva y la elección óptima del punto de corte se trata en el Tema 7 · Distribución Normal y sus aplicaciones.
