14.1. Introducción a las comparaciones múltiples
Cuando se quiere comparar la media de una variable entre tres o más grupos, la tentación natural es aplicar el test t de Student entre todos los pares posibles. Con tres grupos (A, B, C) eso implica tres comparaciones: A vs. B, A vs. C y B vs. C. Con cuatro grupos, serían seis comparaciones. El problema es que cada comparación tiene su propio riesgo de error de tipo I (α), y al acumular comparaciones ese riesgo se multiplica.
La solución es el análisis de la varianza (ANOVA, Analysis
of Variance), que evalúa en un único contraste si existe alguna diferencia
entre los grupos.
Con α = 0,05 por comparación y tres comparaciones independientes, la probabilidad de cometer al menos un error de tipo I es aproximadamente 1 − (1−0,05)³ ≈ 0,143: un 14,3% en lugar del 5% deseado.
Con seis comparaciones, ese riesgo sube al 26%. Cuantos más grupos, peor el problema. Por eso no se aplican múltiples tests t: se necesita un procedimiento que controle el error de tipo I global.
14.2. Prueba de ANOVA: comparar varianzas para detectar diferencias de medias
La idea central del ANOVA es contraintuitiva a primera vista: para detectar diferencias entre medias, se comparan varianzas.
Si los k grupos tienen la misma media poblacional (H0 cierta), la variabilidad de las medias muestrales entre grupos debería ser similar a la variabilidad de los datos individuales dentro de cada grupo. Si las medias son distintas (H0 falsa), la variabilidad entre grupos será mayor de lo esperado en relación con la variabilidad interna de cada grupo.
Variabilidad entre grupos (SCE): suma de cuadrados que mide cuánto se alejan las medias de cada grupo de la media global. Refleja el efecto del factor que define los grupos.
Variabilidad dentro de grupos (SCD o error): suma de cuadrados que mide la variabilidad de los datos individuales alrededor de la media de su propio grupo. Refleja la variabilidad aleatoria residual no explicada por el factor.
14.3. El estadístico F y la tabla ANOVA
El estadístico F es el cociente entre la varianza entre grupos y la varianza dentro de grupos, cada una dividida entre sus grados de libertad correspondientes para obtener cuadrados medios (CM):
Bajo H0 (todas las medias iguales), F debería ser próximo a 1: ambas varianzas estiman la misma variabilidad.
Cuanto más grande sea F, más evidencia hay de que la variabilidad entre grupos supera lo esperable por azar, y más improbable es H0.
La tabla ANOVA resume todo el cálculo en un formato estándar:
| Fuente | Suma de cuadrados | Grados de libertad | Cuadrado medio | F |
|---|---|---|---|---|
| Entre grupos | SCE | k − 1 | CME = SCE/(k−1) | CME / CMD |
| Dentro de grupos (error) | SCD | N − k | CMD = SCD/(N−k) | |
| Total | SCT | N − 1 | — | — |
Un estudio compara el nivel de HbA1c en tres grupos de pacientes diabéticos: dieta sola, dieta + metformina, dieta + metformina + insulina. El ANOVA con F=8,4 y p=0,001 indica que al menos dos grupos difieren en HbA1c. El ANOVA no dice cuáles: para eso hacen falta las pruebas post hoc del apartado siguiente.
14.4. Pruebas post hoc: comparaciones múltiples controladas
Un ANOVA significativo justifica buscar entre qué pares de grupos se producen las diferencias, mediante pruebas post hoc (o de comparaciones múltiples). Estas pruebas controlan el error de tipo I global a lo largo de todas las comparaciones simultáneas, a diferencia de los tests t individuales.
| Prueba | Control del error | Cuándo usarla |
|---|---|---|
| Tukey (HSD) | Error familiar (FWER) | Todos los pares posibles, varianzas iguales, grupos del mismo tamaño |
| Bonferroni | Error familiar (FWER) | Pocas comparaciones planeadas; muy conservadora con muchos grupos |
| Scheffé | Error familiar (FWER) | Comparaciones no planeadas; la más conservadora de las tres |
| Games-Howell | Error familiar (FWER) | Varianzas desiguales entre grupos (análogo a Welch en T13) |
Las pruebas post hoc solo se aplican si el ANOVA previo es significativo. Aplicarlas directamente sin ANOVA previo, o aplicarlas cuando el ANOVA no es significativo, no tiene justificación en el esquema clásico de análisis porque no habría diferencias entre los grupos comparados. El ANOVA actúa como filtro que protege globalmente el error de tipo I antes de entrar en las comparaciones individuales.
14.5. Condiciones de aplicabilidad del ANOVA
El ANOVA de un factor (el que se ha descrito aquí) exige tres condiciones:
| Condición | Cómo verificarla |
|---|---|
| Independencia de las observaciones | Garantizada por el diseño del estudio |
| Normalidad en cada grupo | Histograma, diagrama de caja, o test de Shapiro-Wilk por grupo |
| Homogeneidad de varianzas entre grupos | Test de Levene (igual que en T13 para dos grupos) |
El ANOVA es razonablemente robusto frente a desviaciones moderadas de la normalidad cuando los grupos tienen tamaños muestrales similares y suficientemente grandes. La condición más crítica en la práctica es la homogeneidad de varianzas: varianzas muy distintas entre grupos afectan seriamente al control del error de tipo I del test F.
14.6. Alternativa no paramétrica: test de Kruskal-Wallis
Cuando los datos no cumplen las condiciones del ANOVA (especialmente con muestras pequeñas y distribuciones claramente no Normales), la alternativa es el test de Kruskal-Wallis.
Test de Kruskal-Wallis: alternativa no paramétrica al ANOVA de un factor. Combina todas las observaciones de todos los grupos, las ordena y asigna rangos, y evalúa si la distribución de rangos es similar en todos los grupos. No asume normalidad. Es la extensión del test U de Mann-Whitney a más de dos grupos.
Igual que el ANOVA, el test de Kruskal-Wallis es un contraste global. Si es significativo, indica que al menos dos grupos difieren, pero no cuáles. Para las comparaciones múltiples post hoc no paramétricas se usan correcciones como la de Dunn con ajuste de Bonferroni, disponibles en cualquier paquete estadístico moderno.
| ANOVA | Kruskal-Wallis | |
|---|---|---|
| Qué compara | Medias | Distribuciones (mediante rangos) |
| Asume normalidad | Sí | No |
| Potencia | Mayor cuando se cumplen condiciones | Menor, pero válido sin normalidad |
| Post hoc | Tukey, Bonferroni, Scheffé... | Dunn con corrección de Bonferroni |
El esquema "contraste global + post hoc" del ANOVA se aplica también en modelos más complejos como el ANOVA de dos factores o el ANCOVA, que quedan fuera del alcance de este temario introductorio.
El siguiente paso en el Bloque 4 es la comparación de proporciones entre grupos, desarrollada en el Tema 15 · Tablas de contingencia y Ji-cuadrado.
