17.1. Asociación entre dos variables cuantitativas
Hasta ahora se ha estudiado cómo comparar grupos. Una pregunta distinta pero igualmente frecuente en investigación clínica es: ¿están relacionadas dos variables cuantitativas medidas sobre los mismos individuos? ¿Tiende a subir una cuando sube la otra? ¿O cuando una sube, la otra baja?
Correlación: medida del grado y dirección de la asociación lineal entre dos variables cuantitativas. No implica que una cause la otra, ni que la relación sea necesariamente lineal.
El primer paso antes de calcular cualquier coeficiente es siempre representar los datos en un diagrama de dispersión (scatterplot): cada individuo aparece como un punto con sus coordenadas (x, y).
El diagrama permite visualizar si la relación es lineal, curvilínea, o inexistente, y detectar valores atípicos que podrían distorsionar el coeficiente.
17.2. Covarianza
La covarianza es el primer paso matemático para cuantificar la asociación entre dos variables. Mide si, cuando una variable se aleja de su media hacia arriba, la otra tiende a alejarse también hacia arriba (covarianza positiva) o hacia abajo (covarianza negativa).
La covarianza no es directamente interpretable en cuanto a magnitud: depende de las unidades de X e Y. Una covarianza de 50 entre talla (cm) y peso (kg) no es comparable con una covarianza de 0,05 entre talla (m) y peso (kg), aunque describan exactamente la misma relación. Por eso se necesita estandarizarla, lo que da lugar al coeficiente de Pearson.
17.3. Coeficiente de correlación de Pearson
El coeficiente de correlación de Pearson (r) estandariza la covarianza dividiéndola entre el producto de las desviaciones típicas de ambas variables, eliminando así el efecto de las unidades:
El resultado siempre está entre −1 y +1:
| Valor de r | Interpretación |
|---|---|
| r = +1 | Asociación lineal positiva perfecta: todos los puntos sobre una recta de pendiente positiva |
| r entre +0,7 y +1 | Asociación lineal positiva fuerte |
| r entre +0,3 y +0,7 | Asociación lineal positiva moderada |
| r ≈ 0 | Sin asociación lineal apreciable |
| r entre −0,3 y −0,7 | Asociación lineal negativa moderada |
| r = −1 | Asociación lineal negativa perfecta: todos los puntos sobre una recta de pendiente negativa |
El coeficiente de determinación r² es el cuadrado de Pearson e indica qué proporción de la variabilidad de Y es explicada linealmente por X.
Si r = 0,8, entonces r² = 0,64: el 64% de la variabilidad de Y queda explicada por su relación lineal con X. El 36% restante se debe a otros factores o al azar. r² siempre está entre 0 y 1 y es siempre positivo, independientemente del signo de r.
17.3.1. Contraste de hipótesis sobre la correlación
Para evaluar si la correlación observada en la muestra es estadísticamente significativa (es decir, si hay evidencia de que la correlación poblacional ρ es distinta de cero), se aplica un contraste de hipótesis con H0: ρ = 0.
Un estudio con 20 pacientes encuentra r = 0,45 entre el índice de masa corporal y la presión arterial sistólica. El estadístico t = 0,45 × √18 / √(1−0,2025) = 1,91/0,893 ≈ 2,14 con 18 grados de libertad. Con α = 0,05 bilateral, el valor crítico es aproximadamente 2,10: hay evidencia marginal de correlación positiva entre ambas variables.
17.4. Coeficiente de correlación de Spearman
El coeficiente de Pearson exige que ambas variables sean aproximadamente Normales y que la relación entre ellas sea lineal.
Cuando alguna de estas condiciones no se cumple (variables ordinales, distribuciones asimétricas, relaciones monótonas no lineales), la alternativa es el coeficiente de correlación de Spearman (ρ o rₛ).
Coeficiente de Spearman: medida no paramétrica de correlación basada en los rangos de los datos en lugar de sus valores originales.
Se calcula aplicando la fórmula de Pearson sobre los rangos asignados a cada observación dentro de su variable.
Su interpretación es análoga a Pearson: oscila entre −1 y +1 y mide la fuerza y dirección de la asociación monótona entre las variables.
| Pearson (r) | Spearman (rₛ) | |
|---|---|---|
| Tipo de variables | Cuantitativas continuas | Cuantitativas o ordinales |
| Supuesto de normalidad | Sí | No |
| Tipo de relación que detecta | Lineal | Monótona (lineal o no) |
| Sensible a outliers | Sí | Menos, porque usa rangos |
| Cuándo usarlo | Variables Normales, relación lineal | Distribuciones asimétricas, ordinales, outliers, relación no lineal monótona |
La correlación entre el estadio tumoral (variable ordinal: I, II, III, IV) y la supervivencia no puede medirse con Pearson porque el estadio no es una variable cuantitativa continua con distancias iguales entre categorías. Spearman es la opción correcta ya que convierte los estadios en rangos y mide si a mayor estadio, menor supervivencia, sin asumir ninguna distribución.
17.5. Correlación y causalidad
Encontrar correlación no significa encontrar causalidad.
Este punto merece un apartado propio porque es uno de los errores conceptuales más frecuentes y con más consecuencias prácticas en la lectura de literatura médica.
Una correlación alta entre dos variables no permite concluir que una causa la otra.
Pueden darse tres situaciones distintas: A causa B, B causa A, o una tercera variable C causa tanto A como B (variable de confusión).
La correlación no distingue entre estas tres posibilidades.
Las correlaciones espurias son correlaciones estadísticamente significativas entre variables que no tienen ninguna relación causal real, simplemente porque ambas están influidas por una tercera variable o porque crecen juntas por razones independientes.
Son especialmente frecuentes en series temporales (dos variables que crecen con el tiempo aparecen correlacionadas aunque no tengan ninguna relación entre sí) y en ecología (países ricos tienen más televisores y mayor esperanza de vida, pero los televisores no causan longevidad).
Para establecer causalidad a partir de correlación se necesita diseño experimental o cuasi-experimental, control de variables de confusión, y criterios adicionales (temporalidad, dosis-respuesta, plausibilidad biológica). La correlación es una condición necesaria pero no suficiente para la causalidad.
La correlación describe la asociación entre dos variables pero no permite predecir el valor de una a partir de la otra con un modelo formal.
Para eso se necesita la regresión lineal, que se desarrolla en Tema 18 · Regresión lineal simple. De hecho, el cuadrado del coeficiente de Pearson (r²) es exactamente el coeficiente de determinación del modelo de regresión lineal simple entre esas dos variables.
