11.1. Introducción
En el tema 10 se estableció el armazón conceptual completo del contraste de hipótesis: H0, H1, errores tipo I/II, estadístico de contraste, región crítica y valor p. Este tema aplica ese armazón al caso concreto de contrastar un valor hipotético de la media poblacional.
Contraste sobre la media de una población: procedimiento que evalúa si la media poblacional μ puede ser razonablemente igual a un valor de referencia μ₀, a partir de la media observada en una muestra.
La hipótesis nula habitual es H0: μ = μ₀, con la alternativa formulada como bilateral (μ ≠ μ₀) o unilateral (μ > μ₀ o μ < μ₀), según la pregunta de investigación, exactamente como se vio en 10.2.1.
Un laboratorio quiere comprobar si la glucemia media de un grupo de pacientes con un nuevo protocolo dietético difiere del valor de referencia poblacional de 95 mg/dL. H0: μ = 95; H1: μ ≠ 95. Es un contraste bilateral porque interesa detectar cualquier desviación, tanto al alza como a la baja.
La elección del estadístico de contraste concreto depende de dos factores: el tamaño de la muestra y si se conoce o no la desviación típica poblacional σ.
11.2. Contraste con muestras grandes: estadístico Z
Cuando el tamaño muestral es grande (n≥30, criterio habitual), el teorema central del límite garantiza que la media muestral se distribuye aproximadamente de forma Normal, independientemente de la distribución original de la variable. Esto permite construir un estadístico de contraste basado en la distribución Normal estándar.
Este estadístico mide cuántos errores típicos separan la media muestral observada del valor hipotético μ₀ bajo H0. Cuanto mayor sea |Z| en valor absoluto, más se aleja la media observada de lo esperado bajo H0, y más evidencia hay en contra de la hipótesis nula.
El procedimiento es idéntico al de tipificación visto en el tema 6, aplicado ahora a la media muestral en lugar de a un dato individual, usando el error típico en lugar de la desviación típica. Una vez calculado Z, se compara con el valor crítico correspondiente al nivel de significación elegido, o se calcula directamente el valor p asociado con la tabla Normal.
Siguiendo el ejemplo anterior, con una muestra de n=100 pacientes, media muestral x̄=98 mg/dL y desviación típica poblacional asumida σ=15 mg/dL: Z = (98−95)/(15/√100) = 3/1,5 = 2.
Con un nivel de significación del 5% bilateral, el valor crítico es ±1,96 (visto en el tema 9). Como |2| > 1,96, se rechaza H0: hay evidencia de que la glucemia media difiere de 95 mg/dL.
11.3. Contraste con muestras pequeñas
Todo lo anterior depende de conocer σ, la desviación típica poblacional. En la práctica clínica, σ casi nunca se conoce de antemano, se estima a partir de la propia muestra, calculando s (desviación típica muestral).
Con muestras grandes, sustituir σ por s no genera grandes problemas: la estimación de s es suficientemente precisa y el estadístico Z sigue siendo razonablemente válido. Pero con muestras pequeñas, esa sustitución introduce una incertidumbre adicional que el estadístico Z no contempla. Hay incertidumbre sobre dónde está la media y también cuánto vale realmente la dispersión.
Usar el estadístico Z con muestras pequeñas y σ desconocida subestima la incertidumbre real del contraste. El resultado son valores p artificialmente pequeños y una tendencia a rechazar H0 con más facilidad de la que está justificada por los datos. Esta es la razón histórica y matemática por la que William Gosset desarrolló la distribución t de Student a principios del siglo XX.
11.4. La distribución t de Student
La distribución t de Student es una distribución de probabilidad similar a la Normal estándar, pero con colas más anchas, que refleja correctamente la incertidumbre adicional de estimar σ con s en muestras pequeñas.
Distribución t de Student: distribución de probabilidad simétrica en forma de campana, similar a la Normal estándar pero con colas más pesadas, utilizada cuando se estima la desviación típica poblacional a partir de la muestra (s) en lugar de conocerla (σ), especialmente relevante con tamaños muestrales pequeños.
La forma exacta de la distribución t depende de un parámetro llamado grados de libertad, que para el contraste de una media es n−1.
A medida que aumentan los grados de libertad (es decir, a medida que crece n), la distribución t se aproxima cada vez más a la Normal estándar. Con n suficientemente grande (en la práctica, a partir de unos 30 grados de libertad), la diferencia entre t y Z es mínima, lo que conecta esta sección con el criterio de muestra grande visto en 11.2: ambos enfoques convergen.
El estadístico de contraste t se calcula de forma análoga al estadístico Z, sustituyendo σ por s:
El valor t calculado se compara con la tabla de la distribución t de Student, entrando con los grados de libertad correspondientes, en lugar de la tabla Normal estándar usada con el estadístico Z.
Un estudio piloto con solo 12 pacientes mide el efecto de un nuevo analgésico sobre el dolor postoperatorio (escala 0-10), obteniendo x̄=4,2 y s=1,5. Se quiere contrastar si la media difiere del valor de referencia μ₀=5. Con n=12 (g.l.=11), σ desconocida: t = (4,2−5)/(1,5/√12) = −0,8/0,433 ≈ −1,85. Este valor se compara con la tabla t de Student con 11 grados de libertad, no con la tabla Normal, porque la muestra es pequeña y σ es desconocida.
11.5. Condiciones de aplicabilidad del test t de Student
El test t de Student para una muestra exige que se cumpla una condición importante cuando el tamaño muestral es pequeño: que la variable original siga, al menos aproximadamente, una distribución Normal en la población.
| Tamaño muestral | ¿Necesita normalidad de la variable original? | Por qué |
|---|---|---|
| Grande (n≥30) | No, o solo de forma laxa | El TCL garantiza que la media muestral es aproximadamente Normal aunque la variable no lo sea |
| Pequeña (n<30) | Sí, de forma más estricta | Sin el TCL como red de seguridad, la validez del test depende de que la variable original ya sea razonablemente Normal |
La normalidad de la variable se puede valorar de forma exploratoria con un histograma o un diagrama de caja, comprobando si la distribución es razonablemente simétrica y sin valores atípicos extremos. Existen también contrastes formales de normalidad (como Shapiro-Wilk).
Aplicar un test t con muestra pequeña sobre una variable claramente asimétrica, sin comprobar la condición de normalidad, invalida la interpretación del valor p obtenido. Esta es una condición de aplicabilidad que debe verificarse antes de aplicar el test, no después.
11.6. Alternativas no paramétricas cuando t de Student no es aplicable
Cuando la muestra es pequeña y la variable no es razonablemente Normal, el test t deja de ser fiable. En ese caso, se recurre a alternativas no paramétricas, que no asumen ninguna distribución concreta para la variable.
Para el contraste sobre una muestra, las alternativas no paramétricas habituales son el test de los signos y el test de Wilcoxon (de los rangos con signo), ambos basados en la mediana en lugar de la media, y en el orden relativo de los datos en lugar de sus valores exactos.
| Test | Qué contrasta | Información que usa |
|---|---|---|
| t de Student | Media poblacional | Valores exactos; asume Normal |
| Test de los signos | Mediana poblacional | Solo el signo de la diferencia respecto al valor de referencia |
| Test de Wilcoxon | Mediana poblacional | Signo y magnitud relativa (rango) de las diferencias |
Las alternativas no paramétricas son menos potentes que el test t cuando la variable sí es Normal (detectan diferencias reales con menos frecuencia, a igualdad de n), pero son la opción correcta y más conservadora cuando la condición de normalidad no se cumple y la muestra es pequeña. No existe una alternativa "siempre mejor": la elección depende de si se cumplen o no las condiciones de aplicabilidad.
El test de Wilcoxon reaparece como alternativa no paramétrica para la comparación de dos muestras (independientes o apareadas) en el Tema 13 · Comparación de dos medias, junto con el test de Mann-Whitney. La lógica de "test paramétrico vs. alternativa no paramétrica según se cumplan o no las condiciones" se repite de forma sistemática en todo el Bloque 4.
