15.1. Tablas de contingencia
Cuando se quiere estudiar la relación entre dos variables cualitativas, el primer paso es organizar los datos en una tabla de contingencia: una matriz que cruza las categorías de una variable en filas con las categorías de la otra en columnas, mostrando la frecuencia de cada combinación.
Tabla de contingencia: tabla de doble entrada que muestra la distribución conjunta de dos variables cualitativas. Cada celda contiene el número de observaciones que pertenecen simultáneamente a una categoría de cada variable.
| Variable B: categoría 1 | Variable B: categoría 2 | Total fila | |
|---|---|---|---|
| Variable A: categoría 1 | a (observado) | b (observado) | a + b |
| Variable A: categoría 2 | c (observado) | d (observado) | c + d |
| Total columna | a + c | b + d | N |
Las tablas más grandes (RxC, con R filas y C columnas) siguen la misma lógica y permiten analizar variables con más de dos categorías o comparar más de dos grupos.
15.2. Frecuencias esperadas bajo H0
El test Ji-cuadrado contrasta si las frecuencias observadas en la tabla son compatibles con lo que se esperaría si no hubiera ninguna asociación entre las variables (H0). Para eso, necesita calcular las frecuencias esperadas, es decir, las frecuencias que se observarían en promedio si H0 fuera cierta.
Frecuencia esperada de una celda: valor que tendría esa celda si las dos variables fueran independientes (o si las proporciones fueran homogéneas entre grupos). Se calcula como el producto del total de su fila por el total de su columna, dividido entre el total general N.
En un estudio con 200 pacientes, 100 tratados y 100 controles, 40 de los tratados mejoran y 20 de los controles mejoran. La frecuencia esperada de "tratado que mejora" bajo H0 sería: (100 × 60) / 200 = 30.
Si la independencia fuera cierta, esperaríamos 30 mejoras en cada grupo; observamos 40 en tratados y 20 en controles, lo que sugiere asociación.
15.3. El estadístico Ji-cuadrado
El estadístico Ji-cuadrado (χ²) mide la discrepancia global entre las frecuencias observadas y las esperadas en todas las celdas de la tabla:
Bajo H0, el estadístico χ² sigue aproximadamente una distribución Ji-cuadrado con (R−1)(C−1) grados de libertad, donde R es el número de filas y C el número de columnas. Cuanto mayor es χ², mayor es la discrepancia entre lo observado y lo esperado, y más evidencia hay contra H0.
El estadístico Ji-cuadrado siempre es positivo (porque eleva al cuadrado las diferencias) y crece con el tamaño muestral: con n muy grande, diferencias pequeñas entre proporciones producen valores χ² grandes y significativos. Por eso, igual que con el test t en tema 10, un resultado significativo no implica necesariamente una asociación importante: hay que valorar también la magnitud de la asociación (tema 16).
15.4. Contraste de homogeneidad vs. contraste de independencia
El mismo estadístico χ² se usa en dos tipos de contraste con diseños distintos:
| Contraste de homogeneidad | Contraste de independencia | |
|---|---|---|
| Diseño | Se fijan los totales de fila (grupos predefinidos) y se mide la variable de resultado | Se toma una muestra de la población y se miden ambas variables simultáneamente |
| H0 | Las proporciones de la variable de resultado son iguales en todos los grupos | Las dos variables son independientes (no están asociadas) |
| Ejemplo | ¿Es igual la tasa de curación en tres grupos de tratamiento? | ¿Están asociados el sexo y el diagnóstico de depresión en una muestra poblacional? |
| Estadístico | χ² con (R−1)(C−1) g.l. | χ² con (R−1)(C−1) g.l. |
La distinción entre ambos contrastes no afecta al cálculo del estadístico ni a su interpretación estadística, pero sí a la interpretación sustantiva del resultado: en homogeneidad se concluye sobre diferencias entre grupos; en independencia se concluye sobre la relación entre variables. El diseño del estudio determina cuál de los dos se está aplicando.
15.5. Condiciones de aplicabilidad y prueba exacta de Fisher
La aproximación asintótica del test Ji-cuadrado exige que las frecuencias esperadas sean suficientemente grandes en todas las celdas.
Condición de aplicabilidad del test χ²: ninguna celda debe tener frecuencia esperada menor que 5. Si alguna celda la incumple, la aproximación Ji-cuadrado deja de ser fiable y debe usarse la prueba exacta de Fisher (para tablas 2×2) o agrupar categorías para reducir el número de celdas con frecuencias bajas (para tablas RxC).
La condición se verifica sobre las frecuencias esperadas, no sobre las observadas. Es perfectamente posible observar celdas con valores altos pero frecuencias esperadas bajas, o viceversa. Comprobar solo las observadas es un error frecuente que puede llevar a aplicar Ji-cuadrado cuando no procede.
La prueba exacta de Fisher calcula directamente la probabilidad de obtener una tabla tan extrema o más que la observada, sin depender de la aproximación asintótica. Es el método de elección cuando las frecuencias esperadas son pequeñas en tablas 2×2, y está disponible en cualquier paquete estadístico.
| Situación | Test recomendado |
|---|---|
| Tabla 2×2, todas las frecuencias esperadas ≥ 5 | Ji-cuadrado (con o sin corrección de Yates) |
| Tabla 2×2, alguna frecuencia esperada < 5 | Prueba exacta de Fisher |
| Tabla RxC, todas las frecuencias esperadas ≥ 5 | Ji-cuadrado con (R−1)(C−1) g.l. |
| Tabla RxC, alguna frecuencia esperada < 5 | Agrupar categorías o métodos exactos |
Pregunta frecuente: calcular los grados de libertad de un test χ² para una tabla RxC. La fórmula es (R−1)(C−1), donde R es el número de filas y C el número de columnas, sin contar los totales marginales. Para una tabla 3×2: (3−1)(2−1) = 2 grados de libertad.
El test Ji-cuadrado indica si hay asociación entre dos variables cualitativas, pero no cuánta ni en qué dirección. Para cuantificar la magnitud y el sentido de la asociación se usan el riesgo relativo y el odds ratio, desarrollados en el tema 16.
